Minggu, 04 Mei 2014

Bab 9 Analisis Regresi dan Analisis Korelasi

ANALISIS REGRESI DAN KORELASI (Materi VIII : Analisis Regresi dan Korelasi Sederhana)

Pengertian : Analisis regresi merupakan salah satu analisis yang bertujuan untuk mengetahui pengaruh suatu variabel terhadap variabel lain. Dalam analisis regresi, variabel yang mempengaruhi disebut Independent Variable (variabel bebas) dan variabel yang dipengaruhi disebut Dependent Variable (variabel terikat). Jika dalam persamaan regresi hanya terdapat satu variabel bebas dan satu variabel terikat, maka disebut sebagai persamaan regresi sederhana, sedangkan jika variabel bebasnya lebih dari satu, maka disebut sebagai persamaan regresi berganda.

Analisis Korelasi merupakan suatu analisis untuk mengetahui tingkat keeratan hubungan antara dua variabel. Tingkat hubungan tersebut dapat dibagi menjadi tiga kriteria, yaitu mempunyai hubungan positif, mempunyai hubungan negatif dan tidak mempunyai hubungan.
Analisis Regresi Sederhana : digunakan untuk mengetahui pengaruh dari variabel bebas terhadap variabel terikat atau dengan kata lain untuk mengetahui seberapa jauh perubahan variabel bebas dalam mempengaruhi variabel terikat. Dalam analisis regresi sederhana, pengaruh satu variabel bebas terhadap variabel terikat dapat dibuat persamaan sebagai berikut : Y = a + b X. Keterangan : Y : Variabel terikat (Dependent Variable); X : Variabel bebas (Independent Variable); a : Konstanta; dan b : Koefisien Regresi. Untuk mencari persamaan garis regresi dapat digunakan berbagai pendekatan (rumus), sehingga nilai konstanta (a) dan nilai koefisien regresi (b) dapat dicari dengan metode sebagai berikut :
a = [(ΣY . ΣX2) – (ΣX . ΣXY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2] atau a = (ΣY/N) – b (ΣX/N)
b = [N(ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2]

Contoh :
Berdasarkan hasil pengambilan sampel secara acak tentang pengaruh lamanya belajar (X) terhadap nilai ujian (Y) adalah sebagai berikut :

(nilai ujian)	X (lama belajar)	X ²	XY
40	4	16	160
60	6	36	360
50	7	49	350
70	10	100	700
90	13	169	1.170
ΣY = 310	ΣX = 40	ΣX² = 370	ΣXY = 2.740

Dengan menggunakan rumus di atas, nilai a dan b akan diperoleh sebagai berikut :
a = [(ΣY . ΣX2) – (ΣX . ΣXY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2]
a = [(310 . 370) – (40 . 2.740)] / [(5 . 370) – 402] = 20,4

b = [N(ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2]
b = [(5 . 2.740) – (40 . 310] / [(5 . 370) – 402] = 5,4

Sehingga persamaan regresi sederhana adalah Y = 20,4 + 5,2 X
Berdasarkan hasil penghitungan dan persamaan regresi sederhana tersebut di atas, maka dapat diketahui bahwa : 1) Lamanya belajar mempunyai pengaruh positif (koefisien regresi (b) = 5,2) terhadap nilai ujian, artinya jika semakin lama dalam belajar maka akan semakin baik atau tinggi nilai ujiannya; 2) Nilai konstanta adalah sebesar 20,4, artinya jika tidak belajar atau lama belajar sama dengan nol, maka nilai ujian adalah sebesar 20,4 dengan asumsi variabel-variabel lain yang dapat mempengaruhi dianggap tetap.
Analisis Korelasi (r) : digunakan untuk mengukur tinggi redahnya derajat hubungan antar variabel yang diteliti. Tinggi rendahnya derajat keeratan tersebut dapat dilihat dari koefisien korelasinya. Koefisien korelasi yang mendekati angka + 1 berarti terjadi hubungan positif yang erat, bila mendekati angka – 1 berarti terjadi hubungan negatif yang erat. Sedangkan koefisien korelasi mendekati angka 0 (nol) berarti hubungan kedua variabel adalah lemah atau tidak erat. Dengan demikian nilai koefisien korelasi adalah – 1 ≤ r ≤ + 1. Untuk koefisien korelasi sama dengan – 1 atau + 1 berarti hubungan kedua variabel adalah sangat erat atau sangat sempurna dan hal ini sangat jarang terjadi dalam data riil. Untuk mencari nilai koefisen korelasi (r) dapat digunakan rumus sebagai berikut : r = [(N . ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / √{[(N . ΣX2) – (ΣX)2] . [(N . ΣY2) – (ΣY)2]}

Contoh :
Sampel yang diambil secara acak dari 5 mahasiswa, didapat data nilai Statistik dan Matematika sebagai berikut :

Sampel	X (statistik)	Y (matematika)	XY	X²	Y²
1	2	3	6	4	9
2	5	4	20	25	16
3	3	4	12	9	16
4	7	8	56	49	64
5	8	9	72	64	81
Jumlah	25	28	166	151	186

r = [(N . ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / √{[(N . ΣX2) – (ΣX)2] . [(N . ΣY2) – (ΣY)2]}
r = [(5 . 166) – (25 . 28) / √{[(5 . 151) – (25)2] . [(5 . 186) – (28)2]} = 0,94

Nilai koefisien korelasi sebesar 0,94 atau 94 % menggambarkan bahwa antara nilai statistik dan matematika mempunyai hubungan positif dan hubungannya erat, yaitu jika mahasiswa mempunyai nilai statistiknya baik maka nilai matematikanya juga akan baik dan sebaliknya jika nilai statistik jelek maka nilai matematikanya juga jelek.

sumber:http://ssantoso.blogspot.com/2008/08/analisis-regresi-dan-korelasi-materi.html

Bab.8 Analisis Variansi

Bab. 8 Analisis Variansi

Analisis variansi adalah suatu prosedur untuk uji perbedaan mean beberapa
populasi.
Konsep analisis variansi didasarkan pada konsep distribusi F dan biasanya dapat
diaplikasikan untuk berbagai macam kasus maupun dalam analisis hubungan
antara berbagai varabel yang diamati. Dalam perhitungan statistik, analisis
variansi sangat dipengaruhi asumsi-asumsi yang digunakan seperti kenormalan
dari distribusi, homogenitas variansi dan kebebasan dari kesalahan.
Asumsi kenormalan distribusi memberi penjelasan terhadap karakteristik data
setiap kelompok. Asumsi adanya homogenitas variansi menjelaskan bahwa
variansi dalam masing-masing kelompok dianggap sama. Sedangkan asumsi
bebas menjelaskan bahwa variansi masing-masing terhadap rata-ratanya pada
setiap kelompok bersifat saling bebas.

Hipotesis ANOVA satu arah
· H0 : μ1= μ 2 = μ 3 = … = μ k
o Seluruh mean populasi adalah sama
o Tidak ada efek treatment ( tidak ada keragaman mean dalam grup )
· H1 : tidak seluruhnya mean populasi adalah sama
o Terdapat sebuah efek treatment
o Tidak seluruhmean populasi berbeda ( beberapa pasang mungkin sama )

Partisi Variansi
 Variansi total dapat dibagi menjadi 2 bagian :
SST = SSG + SSW
SST = Total sum of squares (jumlah kuadrat total ) yaitu penyebaran agregat
nilai data individu melalui beberapa level vaktor .
SSG/SSB = Sum of squares between-grup ( jumlah kuadrat antara ) yaitu
penyebaran diantara mean sampel factor .
SSW/SSE = Sum of squares within-grup ( jumlah kuadrat dalam ) yaitu
penyebaran yang terdapat diantara nilai data dalam sebuah
level factor tertentu .

Rumus jumlah kuadarat total ( total sum of squares )

Dimana
SST = total sum of squares ( jumlah kadarat total )
k = levels of treatment ( jumlah populasi )
ni = ukuran sampel dari poplasi i
x ij = pengukuran ke-j dari populsi ke-i
x = mean keseluruha ( dari seluruh nilai data )
Variansi total

Rumus untuk mencari variasi jumlah kuadrat dalam

Keterangan :
SSW/SSE = jumlah kuadrat dalam.
k = levels of treatment ( jumlah populasi )
ni = ukuran sampel dari poplasi i
x ij = pengukuran ke-j dari populsi ke-i
x = mean keseluruha ( dari seluruh nilai data )

Rumus untuk mencari varisi diantara grup

Keterangan :
SSB/SSG = jumlah kuadrat diantara
k = levels of treatment ( jumlah populasi )
ni = ukuran sampel dari poplasi i
x ij = pengukuran ke-j dari populsi ke-i
x = mean keseluruha ( dari seluruh nilai data )
Rumus variasi dalam kelompok

MSW = Rata-rata variasi dalam kelompok
SSW = jumlah kuadrat dalam
N-K = derajat bebas dari SSW
rumus variasi diantara kelompok

MSW/SSW = Rata-rata variasi diantara kelompok
SSG = jumlah kuadrat antara
k-1 = derajat bebas SSG

sumber:http://statistika-is-fun.blogspot.com/2013/05/analisis-variansi-satu-arah-one-way.html

Bab 7. Pengujian Hipotesis

Bab 7 . Pengujian Hipotesis

Uji hipotesis adalah metode pengambilan keputusan yang didasarkan dari analisis data, baik dari percobaan yang terkontrol, maupun dari observasi (tidak terkontrol). Dalam statistik sebuah hasil bisa dikatakan signifikan secara statistik jika kejadian tersebut hampir tidak mungkin disebabkan oleh faktor yang kebetulan, sesuai dengan batas probabilitas yang sudah ditentukan sebelumnya.

Contoh uji hipotesis

Seorang yang dituduh pencuri dihadapkan kepada seorang hakim. Seorang hakim akan menganggap orang tersebut tidak bersalah, sampai kesalahannya bisa dibuktikan. Seorang jaksa akan berusaha membuktikan kesalahan orang tersebut.
Dalam kasus ini, hipotesis nol (H₀) adalah: "Orang tersebut tidak bersalah", dan hipotesis alternatif (H₁) adalah: "Orang tersebut bersalah". Hipotesis alternatif (H₁) inilah yang akan dibuktikan.
Ada dua kondisi yang mungkin terjadi terhadap orang tersebut:

Orang tersebut tidak bersalah.
Orang tersebut bersalah.

Dan ada dua keputusan yang bisa diambil hakim:

Melepaskan orang tersebut.

Memenjarakan orang tersebut.

Rumus

Ada banyak jenis uji hipotesis yang dikenal. Tabel berikut menjelaskan rumus untuk masing-masing uji hipotesis tersebut.

Nama	Rumus	Asumsi / Catatan
Satu sampel z-test (En=One-sample z-test)	$z=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma}\sqrt n$	(Populasi normal atau n > 30) dan σ diketahui. (z adalah jarak dari rata-rata sehubungan dengan simpangan baku rata-rata). Untuk distribusi non-normal memungkinkan untuk dihitung proporsi terkecil dalam sebuah populasi yang berada di dalam k simpangan baku untuk setiap k.
Dua sampel z-test (En=Two-sample z-test)	$z=\frac{(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) - d_0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$	Populasi normal dan observasi independen dan σ₁ dn σ₂ diketahui
Satu sampel t-test (En=One-sample t-test)	$t=\frac{\overline{x}-\mu_0} {( s / \sqrt{n} )} ,$ $df=n-1 \$	(Populasi normal atau n > 30) dan $\sigma$ tidak diketahui
Pasangan t-test (En=Paired t-test)	$t=\frac{\overline{d}-d_0} { ( s_d / \sqrt{n} ) } ,$ $df=n-1 \$	(Populasi normal dari perbedaan atau n > 30) dan $\sigma$ tidak diktahui

sumber: http://id.wikipedia.org/wiki/Uji_hipotesis

Senin, 14 April 2014

BAB VI Distribusi Normal, Distribusi T, dan Distribusi F

Apakah itu Distribusi Normal?

Distribusi normal merupakan suatu alat statistik yang sangat penting untuk menaksir dan meramalkan peristiwa-peristiwa yang lebih luas. Distribusi normal disebut juga dengan distribusi Gauss untuk menghormati Gauss sebagai penemu persamaannya (1777-1855). Menurut pandangan ahli statistik, distribusi variabel pada populasi mengikuti distribusi normal.

Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham DeMoivre (1733) sebagai pendekatan distribusi binomial untuk n besar. Selanjutnya dikembangkan oleh Pierre Simon de Laplace dan dikenal dengan Teorema Moivre - Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untuk analisis galat suatu eksperimen.

Suatu data membentuk distribusi normal jika jumlah data di atas dan di bawah mean adalah sama.

Distribusi normal berupa kurva berbentuk lonceng setangkup yang melebar tak berhingga pada kedua arah positif dan negatifnya.

Ciri-ciri kurva normal :

Bentuk kurva normal

Menyerupai lonceng (genta/bel).
Merupakan suatu poligon yang dilicinkan yang mana ordinat (sumbu tegak) merupakan frekuensi dan absisnya (sumbu alas) memuat nilai variabel.
Simetris.
Luas daerah merupakan nilai rata-rata (mean).
Luas daerah sebelah kiri dan kanan mendekati 50%.
Memiliki satu modus (disebut juga bimodal).

Daerah kurva normal

Merupakan ruangan yang dibatasi daerah kurva dengan absisnya (sumbu alas).
Luas daerah biasanya dinyatakan dalam persen atau proporsi.

Distribusi normal dipengaruhi oleh dua parameter, yaitu mean dan standar deviasi.

Mean menentukan lokasi pusat statistik dan standar deviasi menentukan lebar dari kurva normal.

Rumus umum distribusi normal :

DISTRIBUSI STUDENT t

SEJARAH

W.S. Gosset menuliskan distribusi peluang t pada saat bekerja diperusahaan bir di Irlandia (1908). Perusahaan tersebut melarang semua karyawan untuk menerbitkan hasil penelitiannya. Untuk menghindari larangan tersebut W.S. Gosset menerbitkan karyanya secara rahasia dengan nama student. Oleh sebab itulah distribusi t disebut sebagai distribusi peluang student t.

DASAR

Distribusi Student atau distribusi t, ialah Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya, selain daripada distribusi normal dengan fungsi densitasnya adalah :
Untuk harga-harga n yang besar, biasanya n ≥ 30, distribusi t mendekati distribusi normal baku.
Distribusi probabilitas t-Student diturunkan dari distribusi probabilitas normal baku, dalam bentuk yang berkaitan dengan distribusi probabilitas khi-kuadrat, yakni :

dengan z₁, z₂, z₃, . . . sebagai distribusi probabilitas normal baku dan
c²_n= z²₁ + z²₂+ z²₃ + . . . + z²_n
dari distribusi probabilitas khi-kuadrat.

KURVA DISTRIBUSI t

TABEL DISTRIBUSI t

Distribusi t ® bentuk kurva simetris

® Puncak sebuah rata-ratanya ditengah berimpit dengan t=0, makin jauh dari puncaknya, kurva makin landai mendekati sumbu datarnya

® Kasus normal dengan jumlah sampel n < 30 dan simpangan baku populasi (s ) tidak diketahui sehingga nilainya digantikan dengan simpangan baku sampel ( S )

Misalkan t adalah variabel random berdistribusi student, maka distrbusi peluangnya adalah

, –∞ < t < ∞

Dimana

K : bilangan tetap yang tergantung pana n

n-1 : derajat kebebasan, dengan n jumlah sampel

n ≥ 30: distribusi t mendekati distribusi normal

Luas di bawah kurva t antara ordinat t₁ dan t₂ merupakan peluang peubah acak t yang mendapat nilai antara t = t₁ dan t = t₂. Jadi dapat dituliskan sebagai berikut

P ( t₁ < t < t₂ ) =

Nilai t₁ dan t₂ dapat ditentukan dari tabel t sedangkan luas di bawah kurva tergantung a yang diambil. Misalkan a = 0,05, maka t_0,05 maksudnya luas di sebelah kanan t_0,05 adalah 0,05 dan di sebelah kiri t_0,05 adalah 0,95. Selain itu, karena sifat kesimetrisan maka distribusi t mempunyai sifat -t_a = t_1-a.

Distribusi F (ANOVA)

ANOVA kepanjangan dari Analysis of Variance. Distribusi yang ditemukan oleh seorang ahli statistika bernama R.A Fisher pada tahun 1920. Distribusi F (ANOVA) adalah prosedur statistika untuk menghitung apakah rata-rata hitung drai 3 populasi atau lebih sama atau tidak. Distribusi ini digunakan untuk menguji rata-rata dari tiga atau lebih populasi sekaligus untuk menentukan apakah rata-rata itu sama atau tidak.
Distribusi F (ANOVA) terbagi menjadi 2 klasifikasi:

Klasifikasi satu arah

Klasifikasi satu arah adalah sebuah klasifikasi pengmatan yang hanya didasarkan pada satu kriteria.

2. Klasifikasi dua arah

Klasifikasi dua arah adalah suatu pengamatan yang didasarkan pada dua kriteria seperti varietas dan jenis pupuk.suatu pengamatan dapat diklasifikasikan menurut dua criteria dengan menyusun data tersebut menjadi baris dan kolom, kolom menyatakan kriterika klasifikasi yang satu sedangkan baris menyatakan criteria klasifikasi yang lainnya.

Sabtu, 05 April 2014

BAB V. MOMENT, KEMIRINGAN, DAN KURTOSIS

1. Ukuran Kemiringan (skewness)

    Merupakan derajat atau ukuran dari ketidaksimetrisan (Asimetri) suatu distribusi data. Kemiringan distribusi data terdapat 3 jenis, yaitu :

    Simetris : menunjukkan letak nilai rata-rata hitung,
median, dan modus berhimpit (berkisar disatu
titik)
    Miring ke kanan : mempunyai nilai modus paling
kecil dan rata-rata hitung
paling besar
    Miring ke kiri : mempunyai nilai modus paling
besar dan rata-rata hitung paling kecil

Kemiringan              simetri (normal)            kemiringan                 Negatif                            positif

Untuk mengukur derajat kecondongan suatu distribusi dinyatakan dengan koefisien kecondongan (koefisien skewness).Ada tiga metode yang bisa digunakan untuk menghitung koefisien skewness yaitu :

    Rumus pearson

 = 1/S (X ̅ - Mod)   Atau  = 3/S (X ̅ – Med)

    Rumus Momen

    Data tidak berkelompok

3 = 1/〖nS〗^2 ∑ ( X1 X ̅ )3

    Data Berkelompok

3 = 1/〖nS〗^3 ∑f i( mi - X ̅ )3

Keterangan
3    = derajat kemiringan
x1    = nilai data ke – i
X ̅     = nilai rata-rata hitung
Fi    = frrekuensi nilai ke i
M1    = nilai titik tengah kelas ke-i
S    = Simpangan Baku
N    = Banyaknya data
Jika    3 = 0 distribusi data simetris
    3 < 0 distribusi data miring ke kiri
    3 > 0 distribusi data miring ke kanan

    Rumus bowley

Rumus ini menggunakan nilai kuartil :

    3 = (Q_3+ Q_1- 2Q_2)/(Q_3- Q_1 )
Keterangan :
Q1        = kuartil pertama
Q2        = Kuartil Kedua
Q3        = Kuaril Ketiga

Cara menentukan kemiringannya :
    Jika Q3 – Q2 = Q2 – Q1 sehingga Q3 + Q1 -2Q2 = 0 yang mengakiibatkan 3 = 0, sebaliknya jika distribusi miring maka ada dua kemungkinan yaitu Q1 = Q2 atau Q2 = Q3, dalam hal Q1 = Q2 maka 3 = 1 , dan untuk Q2 = Q3 maka 3 = -1

Ukuran kemiringan data merupakan ukuran yang menunjukan apakah penyebaran data terhadap nilai rata-ratanya bersifat simetris atau tidak. Ukuran kemiringan pada dasarnya merupakan ukuran yang menjelaskan besarnya penyimpangan data dari bentuk simetris. Suat distribusi frekuensi yang miring (tidak simetris) akan memiliki nilai mean, median dan modus yang tidak sama besar (X ̅ ≠ Md ≠ Mo) sehinggan distribusi akan memusat pada salah satu sisi yaitu sisi kanan atau sisi kiri. Hal ini yang menyebabkan bentuk kurva akan miring ke kanan atau ke kiri. Jika kurva miring ke arah kanan (ekornya memanjang ke arah kiri) disebut kemiringan positif, dan jika kurva miring ke arah kiri (ekornya memnjang ke arah kanan) disebut kemiringan negatif.

Analisis kasus :
Tabel 2.1
Cara perhitungan koefisien kecondongan dengan metode
Pearson dari data penghasilan keluarga
penghasila keluarga    X    f    U    fU    Fu2
10-22    16    5    -3    -15    225
23-35    29    6    -2    -12    144
36-48    42    13    -1    -13    169
49-61    55    19    0    0    0
62-74    68    11    1    11    121
75-87    81    11    2    22    484
88-100    94    5    3    15    225
Jumlah        70        ∑ fU = 8    ∑ fU2 = 1368

Sebelum menggunakan rumus terlebih dahulu dicari nilai , mean, median, dan standar deviasinya berikut ini:
Mean :
X ̅ = A + ((∑▒〖f.U〗)/n) . i
        X ̅ = 55 + (8/70) . 3
X ̅ = 56,485

Median :
    Med = Tkbmd + ((1/2 n-fkb)/fmd) . i

Med = 48.5 + ((35-24)/19) . 13
Med = 48.5 + 7,526
Med = 56,026

Standar Deviasi :

        S = i √((n∑f.U^2-(∑f.U^2))/(n(n-1)))
            S = 13 √(((70)-(1368)-(〖8)〗^2)/(70(70-1)))
            S = 13 √19,81
            S = 57,86

Setelah kita dapatkan nilai-nilai diatas, kemudian dimasukan ke dalam rumus koefisein skewness :
α = 3/S (X ̅ - Med)

α = 3/57,86 ( 56,485 – 56,026)

α = 0,0238

dari hasil perhitungan menunjukan bahwa koefisien skewness menghasilkan nilai positif, itu berarti distribusi frekuensi mempunyai bentuk kemiringan yang positif yaitu miring ke arah kanan



2. Ukuran Keruncingan (kurtosis)
Merupakan derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Jika bentuk kurva runcingberarti nilai data terkonsentrasi terhadap nilai rata-tata atau nilai penyebarannya kecil, sebaliknya jika bentuk kurva nya tumpul berarti nilai data tersebar terhadap nilai rata-rata atau nilai penyebaran besar. Keruncingan distribusi data ini disebut juga kurtosis.
Derajat keruncingan suatu distribusi frekuensi dapat dibedakan menjadi tiga, yaitu:
    Leptokurtis
Distribusi data yang puncaknya relatif tinggi atau bentuk distribusi yang ujungnya sangat runcing
    Mesokurtis
Distribusi data yang puncaknya tidak terlalu runcing atau tidak terlalu tumpul
    Platikurtis
Distribusi data yang puncaknya terlalu rendah atau terlalu mendatar

            Mesokurtis                              leptokurtis                              platikurtis

Derajat keruncingan distribusi data α4 dapat dihitung berdasarkan rumus berikut
    Data tidak berkelompok
α4 = 1/(nS^4 ) ∑ ( Xi - X ̅)4

    Data berkelompok
α4 = 1/(nS^4 ) ∑ fi ( mi - X ̅ )4

Keterangan :
α4    = Derajat keruncingan
Xi    = nilai data ke – i
        = nilai rata-rata hitung
fi    = frekuensi kelas ke – i
mi    = nilai titik tengah ke –i
S    = simpangan baku
n     = banyaknya data

dari penggunaan rumus diatas akan menghasilkan kemungkinan tiga nilai yaitu :
        α4 = 3 distribusi keruncingan data disebut mesokurtis
        α4 > 3 distribusi keruncingan data disebut leptokurtis
        α4 < 3 distribusi keruncingan data disebut platikurtis

Analisis kasus :
Tabel 2.2
Cara perhitungan koofisien keruncingan
Dari data penghasilan keluarga
Penghasilan keluarga    Frekuensi    U    f.U    f.U2    f.U3    f.U4
10-22    5    -3    -15    45    -135    405
23-35    6    -2    -12    24    -48    96
36-48    13    -1    -13    13    -13    13
49-61    19    0    0    0    0    0
62-74    11    1    11    11    11    11
75-87    11    2    22    44    88    176
88-100    5    3    15    45    135    405
jumlah    70         8    182    38    1106

s = i √((n∑fU^2-(∑f.〖U)〗^2)/(n(n-1)))
s = 13 √(((70)(1368)-(〖8)〗^2)/(70(70-1)))

s = 13 √19,81

s = 57,86

Setelah kita dapatkan nilai diatas, kemudian dimasukan ke dalam rumus koefisein kurtosis :

α4 = [(∑f.U^4)/n-4{(∑f.U^3)/n}{(∑f.U^ )/n}+6{(∑f〖.U〗^2)/n} {(∑f.U)/n}^2-3{(∑f.U)/n}^4 ] i^4/s^4

α4 = [1106/70-4{38/70}{8/70}+6{182/70} {8/70}^2-3{8/70}^4 ] 〖13〗^4/〖57.86〗^4

α4 = (15.7557) (0,00255)

α4 = 0.040