BAB VI Distribusi Normal, Distribusi T, dan Distribusi F

Apakah itu Distribusi Normal?

Distribusi normal merupakan suatu alat statistik yang sangat penting untuk menaksir dan meramalkan peristiwa-peristiwa yang lebih luas. Distribusi normal disebut juga dengan distribusi Gauss untuk menghormati Gauss sebagai penemu persamaannya (1777-1855). Menurut pandangan ahli statistik, distribusi variabel pada populasi mengikuti distribusi normal. 

Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham DeMoivre (1733) sebagai pendekatan distribusi binomial untuk n besar. Selanjutnya dikembangkan oleh Pierre Simon de Laplace dan dikenal dengan Teorema Moivre - Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untuk analisis galat suatu eksperimen. 

Suatu data membentuk distribusi normal jika jumlah data di atas dan di bawah mean adalah sama.

Distribusi normal berupa kurva berbentuk lonceng setangkup yang melebar tak berhingga pada kedua arah positif dan negatifnya.

Ciri-ciri kurva normal :

1. Bentuk kurva normal
1. Menyerupai lonceng (genta/bel).
2. Merupakan suatu poligon yang dilicinkan yang mana ordinat (sumbu tegak) merupakan frekuensi dan absisnya (sumbu alas) memuat nilai variabel.
3. Simetris.
4. Luas daerah merupakan nilai rata-rata (mean).
5. Luas daerah sebelah kiri dan kanan mendekati 50%.
6. Memiliki satu modus (disebut juga bimodal).
2. Daerah kurva normal
1. Merupakan ruangan yang dibatasi daerah kurva dengan absisnya (sumbu alas).
2. Luas daerah biasanya dinyatakan dalam persen atau proporsi.

Distribusi normal dipengaruhi oleh dua parameter, yaitu mean dan standar deviasi.

Mean menentukan lokasi pusat statistik dan standar deviasi menentukan lebar dari kurva normal.

Rumus umum distribusi normal :

DISTRIBUSI STUDENT t

SEJARAH

W.S. Gosset menuliskan distribusi peluang t pada saat bekerja diperusahaan bir di Irlandia (1908). Perusahaan tersebut melarang semua karyawan untuk menerbitkan hasil penelitiannya. Untuk menghindari larangan tersebut W.S. Gosset menerbitkan karyanya secara rahasia dengan nama student. Oleh sebab itulah distribusi t disebut sebagai distribusi peluang student t.

DASAR

Distribusi Student atau distribusi t, ialah Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya, selain daripada distribusi normal dengan fungsi densitasnya adalah :
Untuk harga-harga n yang besar, biasanya n ≥ 30, distribusi t mendekati distribusi normal baku.
Distribusi probabilitas t-Student diturunkan dari distribusi probabilitas normal baku, dalam bentuk yang berkaitan dengan distribusi probabilitas khi-kuadrat, yakni :

dengan z₁, z₂, z₃, . . . sebagai distribusi probabilitas normal baku dan
c²_n= z²₁ + z²₂ + z²₃ + . . . + z²_n
dari distribusi probabilitas khi-kuadrat.


KURVA DISTRIBUSI t

TABEL DISTRIBUSI t

Distribusi t ® bentuk kurva simetris

® Puncak sebuah rata-ratanya ditengah berimpit dengan t=0, makin jauh dari puncaknya, kurva makin landai mendekati sumbu datarnya

® Kasus normal dengan jumlah sampel n < 30 dan simpangan baku  populasi (s )  tidak diketahui sehingga nilainya digantikan dengan simpangan baku  sampel ( S )

Misalkan t adalah variabel random berdistribusi student, maka distrbusi peluangnya adalah

       , –∞ < t < ∞

Dimana

     K        : bilangan tetap yang tergantung pana n

     n-1     : derajat kebebasan, dengan n jumlah sampel

     n ≥ 30: distribusi t mendekati distribusi normal

Luas di bawah kurva t antara ordinat t₁ dan t₂ merupakan peluang peubah acak t yang mendapat nilai antara t = t₁ dan t = t₂. Jadi dapat dituliskan sebagai berikut

     P ( t₁ < t < t₂ ) =

=

Nilai t₁ dan t₂ dapat ditentukan dari tabel t sedangkan luas di bawah kurva tergantung a yang diambil. Misalkan a = 0,05, maka t_0,05 maksudnya luas di sebelah kanan t_0,05  adalah 0,05 dan di sebelah kiri t_0,05 adalah 0,95. Selain itu, karena sifat kesimetrisan maka distribusi t mempunyai sifat       -t_a = t_1-a.

Distribusi F (ANOVA)

            ANOVA kepanjangan dari Analysis of Variance. Distribusi yang ditemukan oleh seorang ahli statistika bernama R.A Fisher pada tahun 1920. Distribusi F (ANOVA) adalah prosedur statistika untuk menghitung apakah rata-rata hitung drai 3 populasi atau lebih sama atau tidak. Distribusi ini digunakan untuk menguji rata-rata dari tiga atau lebih populasi sekaligus untuk menentukan apakah rata-rata itu sama atau tidak.
            Distribusi F (ANOVA) terbagi menjadi 2 klasifikasi:

1. Klasifikasi satu arah

Klasifikasi satu arah adalah sebuah klasifikasi pengmatan yang hanya didasarkan pada satu kriteria.

     2.  Klasifikasi dua arah 

Klasifikasi dua arah adalah suatu pengamatan yang didasarkan pada dua kriteria seperti varietas dan jenis pupuk.suatu pengamatan dapat diklasifikasikan menurut dua criteria dengan menyusun data tersebut menjadi baris dan kolom, kolom menyatakan kriterika klasifikasi yang satu sedangkan baris menyatakan criteria klasifikasi yang lainnya.

BAB V. MOMENT, KEMIRINGAN, DAN KURTOSIS

 1. Ukuran Kemiringan (skewness)

    Merupakan derajat atau ukuran dari ketidaksimetrisan (Asimetri) suatu distribusi data. Kemiringan distribusi data terdapat 3 jenis, yaitu :

    Simetris : menunjukkan letak nilai rata-rata hitung,
median, dan modus berhimpit (berkisar disatu
titik)
    Miring ke kanan : mempunyai nilai modus paling
kecil dan rata-rata hitung
paling besar
    Miring ke kiri : mempunyai nilai modus paling
besar dan rata-rata hitung paling kecil



Kemiringan              simetri (normal)             kemiringan                 Negatif                            positif


Untuk mengukur derajat kecondongan suatu distribusi dinyatakan dengan koefisien kecondongan (koefisien skewness).Ada tiga metode yang bisa digunakan untuk menghitung koefisien skewness yaitu :

    Rumus pearson

 = 1/S (X ̅ - Mod)   Atau  = 3/S (X ̅ – Med)



    Rumus Momen

    Data tidak berkelompok

3 = 1/〖nS〗^2  ∑ ( X1 X ̅ )3


    Data Berkelompok

3 = 1/〖nS〗^3  ∑f i( mi - X ̅ )3

Keterangan
3    = derajat kemiringan
x1    = nilai data ke – i
 X ̅     = nilai rata-rata hitung
Fi    = frrekuensi nilai ke i
M1    = nilai titik tengah kelas ke-i
S    = Simpangan Baku
N    = Banyaknya data
Jika    3 = 0 distribusi data simetris
    3 < 0 distribusi data miring ke kiri
    3 > 0 distribusi data miring ke kanan









    Rumus bowley

Rumus ini menggunakan nilai kuartil :

    3 =  (Q_3+ Q_1- 2Q_2)/(Q_3- Q_1 ) 
Keterangan :
Q1        = kuartil pertama
Q2        = Kuartil Kedua
Q3        = Kuaril Ketiga




Cara menentukan kemiringannya :
    Jika Q3 – Q2  =  Q2 – Q1 sehingga Q3 + Q1 -2Q2 = 0 yang mengakiibatkan 3 = 0, sebaliknya jika distribusi miring maka ada dua kemungkinan yaitu Q1 = Q2 atau Q2 = Q3, dalam hal Q1 = Q2 maka 3 = 1 , dan untuk Q2 = Q3 maka 3 = -1


Ukuran kemiringan data merupakan ukuran yang menunjukan apakah penyebaran data terhadap nilai rata-ratanya bersifat simetris atau tidak. Ukuran kemiringan pada dasarnya merupakan ukuran yang menjelaskan besarnya penyimpangan data dari bentuk simetris. Suat distribusi frekuensi yang miring (tidak simetris) akan memiliki nilai mean, median dan modus yang tidak sama besar (X ̅ ≠ Md ≠ Mo) sehinggan distribusi akan memusat pada salah satu sisi yaitu sisi kanan atau sisi kiri. Hal ini yang menyebabkan bentuk kurva akan miring ke kanan atau ke kiri. Jika kurva miring ke arah kanan (ekornya memanjang ke arah kiri) disebut kemiringan positif, dan jika kurva miring ke arah kiri (ekornya memnjang ke arah kanan) disebut kemiringan negatif.



Analisis kasus :
Tabel 2.1
Cara perhitungan koefisien kecondongan dengan metode 
Pearson dari data penghasilan keluarga
penghasila keluarga    X    f    U    fU    Fu2
10-22    16    5    -3    -15    225
23-35    29    6    -2    -12    144
36-48    42    13    -1    -13    169
49-61    55    19    0    0    0
62-74    68    11    1    11    121
75-87    81    11    2    22    484
88-100    94    5    3    15    225
Jumlah        70        ∑ fU = 8    ∑ fU2 = 1368









Sebelum menggunakan rumus terlebih dahulu dicari nilai , mean, median, dan standar deviasinya berikut ini:
Mean :
 X ̅ = A + ((∑▒〖f.U〗)/n) . i
        X ̅ = 55 + (8/70) . 3
 X ̅ = 56,485

Median :
    Med = Tkbmd + ((1/2  n-fkb)/fmd) . i

Med = 48.5 + ((35-24)/19) . 13
Med = 48.5 + 7,526
Med = 56,026






Standar Deviasi :
        
        S = i √((n∑f.U^2-(∑f.U^2))/(n(n-1)))
            S = 13 √(((70)-(1368)-(〖8)〗^2)/(70(70-1)))
            S = 13 √19,81
            S = 57,86

Setelah kita dapatkan nilai-nilai diatas, kemudian dimasukan ke dalam rumus koefisein skewness :
α = 3/S (X ̅ - Med)

α = 3/57,86 ( 56,485 – 56,026)

α = 0,0238

dari hasil perhitungan menunjukan bahwa koefisien skewness menghasilkan nilai positif, itu berarti distribusi frekuensi mempunyai bentuk kemiringan yang positif yaitu miring ke arah kanan 

        










2. Ukuran Keruncingan (kurtosis)
Merupakan derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Jika bentuk kurva runcingberarti nilai data terkonsentrasi terhadap nilai rata-tata atau nilai penyebarannya kecil, sebaliknya jika bentuk kurva nya tumpul berarti nilai data tersebar terhadap nilai rata-rata atau nilai penyebaran besar. Keruncingan distribusi data ini disebut juga kurtosis.
Derajat keruncingan suatu distribusi frekuensi dapat dibedakan menjadi tiga, yaitu:
    Leptokurtis
Distribusi data yang puncaknya relatif tinggi atau bentuk distribusi yang ujungnya sangat runcing
    Mesokurtis
Distribusi data yang puncaknya tidak terlalu runcing atau tidak terlalu tumpul
    Platikurtis 
Distribusi data yang puncaknya terlalu rendah atau terlalu mendatar


            Mesokurtis                              leptokurtis                              platikurtis








Derajat keruncingan distribusi data α4 dapat dihitung berdasarkan rumus berikut 
    Data tidak berkelompok
α4 = 1/(nS^4 ) ∑ ( Xi - X ̅)4

    Data berkelompok
α4 = 1/(nS^4 ) ∑ fi ( mi - X ̅ )4

Keterangan :
α4    = Derajat keruncingan
Xi    = nilai data ke – i
        = nilai rata-rata hitung
fi    = frekuensi kelas ke – i
mi    = nilai titik tengah ke –i
S    = simpangan baku
n     = banyaknya data

dari  penggunaan rumus  diatas akan menghasilkan kemungkinan tiga nilai yaitu :
        α4 = 3 distribusi keruncingan data disebut mesokurtis
        α4 > 3 distribusi keruncingan data disebut leptokurtis
        α4 < 3 distribusi keruncingan data disebut platikurtis

Analisis kasus :
Tabel 2.2
Cara perhitungan koofisien keruncingan
Dari data penghasilan keluarga
Penghasilan keluarga    Frekuensi    U    f.U    f.U2    f.U3    f.U4
10-22    5    -3    -15    45    -135    405
23-35    6    -2    -12    24    -48    96
36-48    13    -1    -13    13    -13    13
49-61    19    0    0    0    0    0
62-74    11    1    11    11    11    11
75-87    11    2    22    44    88    176
88-100    5    3    15    45    135    405
jumlah    70         8    182    38    1106

s = i √((n∑fU^2-(∑f.〖U)〗^2)/(n(n-1)))
s = 13 √(((70)(1368)-(〖8)〗^2)/(70(70-1)))      

s = 13 √19,81

s = 57,86









Setelah kita dapatkan nilai diatas, kemudian dimasukan ke dalam rumus koefisein kurtosis :

α4 = [(∑f.U^4)/n-4{(∑f.U^3)/n}{(∑f.U^ )/n}+6{(∑f〖.U〗^2)/n} {(∑f.U)/n}^2-3{(∑f.U)/n}^4 ]  i^4/s^4 

α4 = [1106/70-4{38/70}{8/70}+6{182/70} {8/70}^2-3{8/70}^4 ]  〖13〗^4/〖57.86〗^4 

α4 = (15.7557) (0,00255)

α4 = 0.040